高手讲解滤波器原理(四)，巴特沃斯滤波器原理全知晓
滤波器在生活中应用很多，因此很多朋友想一窥滤波器原理。通常，对于滤波器原理的理解往往基于一定技术基础，所以学习滤波器原理需要耐心、坚持。本文中，将为大家详细讲解巴特沃斯滤波器原理，并向大家介绍巴特沃斯滤波器的一些相关知识，一起来看看吧。
一、什么是巴特沃斯滤波器
巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。这种滤波器最先由英国工程师斯蒂芬·巴特沃斯(StephenButterworth)在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。
二、巴特沃斯滤波器的特性
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。
一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。
图1展示了不同阶的幅频特性。可见阶数n越高，其幅频特性越好，低频检测信号保真度越高。
巴特沃斯与贝塞尔(Bessel)、切比雪夫(Chebyshev)滤波器的幅频特性、相位特性如图2、图3所示。
从图2、图3可以看出，巴特沃斯滤波器在线性相位、衰减斜率和加载特性三个方面具有特性均衡的优点，因此在实际使用中已被列为首选。
三、巴特沃斯滤波器原理
巴特沃斯型滤波器在现代设计方法设计的滤波器中，是最为有名的滤波器，由于它设计简单，性能方面又没有明显的缺点，又因它对构成滤波器的元件Q值较低，因而易于制作且达到设计性能，因而得到了广泛应用。其中，巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。
滤波器的截止频率的变换是通过先求出待设计滤波器的截止频率与基准滤波器的截止频率的比值M，再用这个M去除滤波器中的所有元件值来实现的，其计算公式如下：M=待设计滤波器的截止频率/基准滤波器的截止频率。
滤波器的特征阻抗的变换是通过先求出待设计滤波器的特征阻抗与基准滤波器的特征阻抗的比值K，再用这个K去乘基准滤波器中的所有电感元件值和用这个K去除基准滤波器中的所有电容元件值来实现的。
四、巴特沃斯滤波器优点
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波得图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向负无穷大。
一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数、振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。
巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类，类同于切比雪夫滤波器，它有高通，低通，带通，高通，带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性，但有较长的过渡带，在过渡带上很容易造成失真，我在调用MATLAB里的巴特沃斯滤波器做仿真时，信号总会在第一个周期略微有些失真，但往后的幅频特性就非常的好。
五、巴特沃斯滤波器传递函数
巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示：
其中，n=滤波器的阶数
wc=截止频率=振幅下降为-3分贝时的频率
wp=通频带边缘频率
六、巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔滤波器的区别
巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波器均包括模拟滤波器和数字滤波器两种形式。
数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。因此，它本身即可以是用数字硬件装配成的一台完成给定运算的专用数字计算机，也可以是将所需运算编成程序，让通用计算机来执行。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等优点。随着数字技术的发展，用数字技术实现滤波器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
贝赛尔(Bessel)滤波器是具有最大平坦的群延迟(线性相位响应)的线性过滤器。贝赛尔滤波器常用在音频天桥系统中。模拟贝赛尔滤波器描绘为几乎横跨整个通频带的恒定的群延迟，因而在通频带上保持了被过滤的信号波形。贝塞尔(Bessel)滤波器具有最平坦的幅度和相位响应。带通(通常为用户关注区域)的相位响应近乎呈线性。Bessel滤波器可用于减少所有IIR滤波器固有的非线性相位失真。
切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器，振幅特性在通带内是等波纹。在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器;振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。
当滤波器具有相同阶数时：
巴特沃斯滤波器通带最平坦，阻带下降慢。
切比雪夫滤波器通带等纹波，阻带下降较快。
贝塞尔滤波器通带等纹波，阻带下降慢。也就是说幅频特性的选频特性最差。但是，贝塞尔滤波器具有最佳的线性相位特性。
此外，还有椭圆滤波器，椭圆滤波器在通带等纹波(阻带平坦或等纹波)，阻带下降最快。
巴特沃斯滤波器
什么是巴特沃斯滤波器
巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯（StephenButterworth）在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。
巴特沃斯滤波器特性
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。
一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频。单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。
巴特沃斯滤波器原理
巴特沃斯型滤波器在现代设计方法设计的滤波器中，是最为有名的滤波器，由于它设计简单，性能方面又没有明显的缺点，又因它对构成滤波器的元件Q值较低，因而易于制作且达到设计性能，因而得到了广泛应用。其中，巴特沃斯滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑。
滤波器的截止频率的变换是通过先求出待设计滤波器的截止频率与基准滤波器的截止频率的比值M，再用这个M去除滤波器中的所有元件值来实现的，其计算公式如下：M=待设计滤波器的截止频率/基准滤波器的截止频率。
滤波器的特征阻抗的变换是通过先求出待设计滤波器的特征阻抗与基准滤波器的特征阻抗的比值K，再用这个K去乘基准滤波器中的所有电感元件值和用这个K去除基准滤波器中的所有电容元件值来实现的。
巴特沃斯滤波器与其它滤波器比较
下图是巴特沃斯滤波器（左上）和同阶第一类切比雪夫滤波器（右上）、第二类切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。
特沃斯滤波器优点
巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波得图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向负无穷大。
一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数、振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。
巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类，类同于切比雪夫滤波器，它有高通，低通，带通，高通，带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性，但有较长的过渡带，在过渡带上很容易造成失真，我在调用MATLAB里的巴特沃斯滤波器做仿真时，信号总会在第一个周期略微有些失真，但往后的幅频特性就非常的好。
巴特沃斯滤波器主要参数介绍
（1）［N，wc］=buttord（wp，ws，RP，As，’s’）
该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3db截止频率wc。Wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad\s）。Rp和As为通带最大衰减和最小衰减。
（2）［Z，P，k］=buttap（N）
该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。
（3）Y=filter（b，a，x）
式中b表示系统传递函数的分子多项式的系数矩阵；a表示系统传递函数的分母多项式的系数矩阵；x表示输入序列；filter表示输出序列。IIR函数实现的直接形式。
（4）［b，a］=butter（N，wc，‘ftype’）
计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。
说明：调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值，一般是调用buttord格式（1）计算N和wc。系数b、a是按照z-1的升幂排列。
（5）［B，A］=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’）
计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量。
说明：调用参数N和Ωc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率（实际角频率），可调用buttord（2）格式计算N和Ωc。系数B、A按s的正降幂排列。
tfype为滤波器的类型：
◇ftype=high时，高通；Ωc只有1个值。
◇ftype=stop时，带阻；Ωc=［Ωcl，Ωcu］，分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。
◇ftype缺省时：若Ωc只有1个值，则默认为低通；若Ωc有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Ωcl《Ω《Ωcu。
（6）［H，w］=freqz（b，a，N）
b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，返回量H则包含了离散系统频响在0～pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数），w则包含了范围内N个频率等分点。调用默认的N时，其值是512。可以先调用freqz（）函数计算系统的频率响应，然后利用abs（）和angle（）函数及plot（）函数，绘制出系统的频响曲线。
（7）lp2lp函数
［bt，at］=lp2lp（b，a，w0）
该函数用于实现由低通模拟原型滤波器至低通滤波器的频率变换，可以用传递函数和状态空间进行转换，但无论哪种形式，其输入必须是模拟滤波器原型。
（8）［bz，az］=impinvar（b，a，fs）
把具有［b，a］模拟滤波器传递函数模型转换为采样频率为fs的数字滤波器的传递函数模型［bz，az］，如果在函数中没有确定频率fs时，函数默认为1Hz.
低通巴特沃斯数字滤波器的实例
一、Matlab计算滤波器系数
Matlab计算巴特沃斯低通滤波器系数过程如下：
①根据给定的通带截止频率、通带截止增益、阻带截止频率、阻带截止增益，利用buttord函数计算巴特沃斯滤波器所需的最小阶数和截止频率。（由于要求中已给出截止频率，故这步省去）
（图是网上扒拉的，指标与本设计不符）
②根据上述计算得到的阶数，利用buttap函数计算出巴特沃斯滤波器原型。
③利用lp2lp函数，将原型滤波器转换成目标截止频率的滤波器。
④利用脉冲响应不变法（impinvar函数）或是双线性变换法（bilinear函数）将模拟滤波器转换为数字滤波器。数字滤波器形式为z域有理函数，分子分母系数即为滤波器系数。
我这里选用的是脉冲响应不变法，因为计算得到的滤波器比较简单，运算速度比较快。
（从左到右：滤波器原型、模拟滤波器、数字滤波器）
设计过程matlab源码如下：
Fs=15;%采样频率
Nn=12800;
N=2;%阶数
Wc=1*2*pi;%截止频率
［z，p，k］=buttap（N）;%计算巴特沃斯滤波器原型
［Bap，Aap］=zp2tf（z，p，k）;%转换成多项式模式
［b，a］=lp2lp（Bap，Aap，Wc）;%根据截止频率计算模拟巴特沃斯滤波器系数
［bz，az］=impinvar（b，a，Fs）;%用脉冲响应不变法离散化
figure（1）
［H，W］=freqz（bz，az，Nn，Fs）;%绘制频率特性曲线
subplot（2，1，1）
plot（W，20*log10（abs（H）））;
gridon;
subplot（2，1，2）
plot（W，180/pi*unwrap（angle（H）））;
gridon;
二、Matlab计算验证
先在Matlab中验证滤波函数。先编写带噪声的输入函数，然后经过滤波器函数后，观察滤波效果。其中滤波器函数写法为：
Filter函数为Matlab自带函数，其算法为：
其中，a即为z域传递函数的分母系数，b为分子系数。例如本应用中：
则算法为az（1）*y（k）=bz（1）*x（k）+bz（2）*x（k-1）–az（2）*y（k-1）–az（3）*y（k-2）
Matlab中得到的结果如下（信号频率0.1Hz，噪声频率6Hz）：
三、C语言函数编写与验证
将上述算法翻译成C语言，写入单片机中。利用信号源输出各种波形，单片机AD采样进去之后，对采样点进行滤波处理，将原始数据和滤波后的数据发送到上位机进行绘图，得到图像对比如下：
C函数源码如下：
constfloatbz［2］={0，0.128580115806658};//分子
constfloataz［3］={1，-1.42252474659021，0.553007125840971};//分母
floatData_Output［DATA_LENTH］;//输出数据
float*but_filter（unsignedintlen，float*x）//len为输入数据数组长度，x为输入数据数组指针
{
unsignedinTI=2;
staTIcfloaTInit［2］={0，0};//初值，一开始设为0
if（len《2）//如果长度小于2，直接返回
returnData_Output;
Data_Output［0］=init［0］;//赋初值
Data_Output［1］=init［1］;
for（i=2;i《len;i++）
{
Data_Output［i］=bz［0］*x［i］+bz［1］*x［i-1］-az［1］*Data_Output［i-1］-az［2］*Data_Output［i-2］;
/*算法为a1*y（k）=b1*x（k）+b2*x（k-1）-a（2）*y（k-1）-a（3）*y（k-2）*/
/*由于a1=1，故不做除法*/
}
init［0］=Data_Output［len-2］;//考虑到会被连续调用，此次的终值作为下次的初值
init［1］=Data_Output［len-1］;
returnData_Output;
}
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